Список литературы

dongu-vestnik01.ru

Вестник Донецкого университета. Серия 01. Естественные науки

Vestnik of Donetsk University. Series 01. Natural Sciences

2415-7058

523

10.5281/zenodo.20799590

Articles

Статьи

Research Article

CONCENTRATION OF BENDING MOMENTS IN A NARROW PIEZO STRIP WITH ARBITRARY LOCATED HOLES, CRACKS AND RECESSES

КОНЦЕНТРАЦИЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ В УЗКОЙ ПЬЕЗОПОЛОСЕ С ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, ТРЕЩИНАМИ И ВЫЕМАМИ

https://orcid.org/0000-0003-1339-6035

Kaloerov

Stefan A.

Калоеров

Стефан Алексеевич

kaloerov@mail.ru 1

https://orcid.org/0000-0003-3545-3635

Seroshtanov

Aleksandr V.

Сероштанов

Александр Владимирович

aleks.serosht@gmail.com 2

Донецкий государственный университет», г. Донецк, ДНР Donetsk State University, Donetsk, DPR

Донецкий государственный университет, г. Донецк, ДНР Donetsk State University, Donetsk, DPR

23 06 2026

NO2 (2026)

№2 (2026)

5 20 22 07 2026

2026

Вестник Донецкого университета. Серия 01. Естественные науки

Vestnik of Donetsk University. Series 01. Natural Sciences

Эта статья распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0)

This article is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

https://dongu-vestnik01.ru/index.php/bdsa/article/view/523

Using complex potentials of the theory of bending of thin piezo plates, the problem of bending a narrow strip with arbitrary holes and cracks, including the output to rectilinear boundaries, is solved. In this case, functions that are holomorphic outside of holes and cracks are expanded in Laurent series, and functions that are holomorphic in a solid strip are chosen in the form of sums of functions that are holomorphic outside of imaginary symmetric contours relative to the upper and lower rectilinear boundaries of the strip. The determination of unknown coefficients of series by the generalized least squares method is reduced to an overdetermined system of linear algebraic equations solved by the singular value decomposition method. The results of numerical studies are described for a strip with a circular hole, including the output to one of the rectilinear boundaries, a strip with a circular hole and an edge crack from it in a jumper, including the output to a rectilinear boundary. The regularities of changes in the electromagnetoelastic state of the plate depending on the geometric characteristics of holes and cracks, their mutual location, are investigated. It has been established that as a hole or crack approaches a rectilinear boundary, the values of moments at the points of the jumper increase sharply, changing insignificantly in other zones of the strip. A high concentration of moments is also observed at the points of the rectilinear boundaries of the strip near the jumpers. The values of these moments are especially large in the case of a strip with a circular hole and an edge crack from it. The values of bending moments are significantly affected by taking into account the piezo properties of the material, especially in areas of high concentration of bending moments, therefore in these cases one cannot limit oneself to solving the problem of elasticity theory about the bending of the plate, but it is necessary to solve the problem of electro-magneto-elasticity.

С использованием комплексных потенциалов теории изгиба тонких пьезоплит решена задача об изгибе узкой полосы с произвольными отверстиями и трещинами, в том числе выходящими на прямолинейные границы. При этом функции, голоморфные вне отверстий и трещин, разложены в ряды Лорана, а функции, голоморфные в сплошной полосе, выбраны в виде сумм функций, голоморфных вне воображаемых симметричных контуров относительно верхней и нижней прямолинейных границ полосы. Определение неизвестных коэффициентов рядов обобщенным методом наименьших квадратов сведено к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, решаемой методом сингулярного разложения. Описаны результаты численных исследований для полосы с круговым отверстием, в том числе выходящим на одну из прямолинейных границ, для полосы с круговым отверстием и краевой трещиной из него в перемычке, в том числе выходящей на прямолинейную границу. Исследованы закономерности изменения электромагнитоупругого состояния плиты в зависимости от геометрических характеристик отверстий и трещин, их взаиморасположения. Установлено, что с приближением отверстия или трещины к прямолинейным границам значения изгибающих моментов в точках перемычки резко возрастают, незначительно изменяясь в других зонах полосы. Большая концентрация моментов наблюдается и в точках прямолинейных границ полосы вблизи перемычек. Значения этих моментов особенно велики в случае полосы с круговым отверстием и краевой трещиной из него. На значения изгибающих моментов значительно влияет учет пьезосвойств материала, особенно в зонах высокой концентрации изгибающих моментов, поэтому в этих случаях нельзя ограничиваться решением задачи теории упругости об изгибе плиты, а нужно решать задачу электромагнитоупругости.

thin piezo plate half-plane holes cracks jumper complex potentials generalized least squares method bending moment concentration moment intensity factors

тонкая пьезоплита полоса отверстия трещины комплексные потенциалы обобщенный метод наименьших квадратов концентрация изгибающих моментов коэффициенты интенсивности моментов

The research was conducted at Donetsk State University as part of a state assignment (code FRRE-2026-0021).

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного за-дания (шифр FRRE-2026-0021).

[Полный текст статьи отсутствует в исходных данных. Необходимо добавить текст из PDF или другого источника.]

Список литературы

1. Берлинкур, Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика. – М.: Мир, 1966. – Т. 1, ч. А. – С. 204–326.

2. Пятаков, А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение / А. П. Пятаков // Бюл. Рос. магнит. о-ва. – 2006. – Т. 5, № 2. – С. 1–3.

3. Multiferroic magnetoelectric composites: Historical perspective, status, and future directions / C.-W. Nan, M.I. Bichurin, S. Dong, D. Viehland, G. Srinivasan // J. Appl. Phys. – 2008. – V. 103, N 3. – P. 031101. DOI: 10.1063/1.2836410.

4. Tian, R. Magnetoelectric properties of piezoelectric-piezomagnetic composites with elliptical nanofibers / R. Tian, J. Liu, X. Liu // Acta Mechanica Solida Sinica. – 2020. – V. 33. – P. 368–380. DOI: 10.1007/s10338-019-00129-z.

5. Srinivas, S. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites / S. Srinivas, Y.L. Jiang // Acta Mater. – 2005. – V. 53. – P. 4135–4142. DOI: 10.1016/j.actamat.2005.05.014.

6. Eringen, A.C. Electrodynamics of Continua I / A.C. Eringen, G.A. Maugin. – New York: Springer, 1990. – 436 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-3226-1.

7. Ieşan, D. On the bending of piezoelectric plates with microstructure / D. Ieşan // Acta Mech. – 2008. – V. 198, N. 3. – P. 191–208. DOI: 10.1007/s00707-007-0527-8

8. Xu, S.-P. Bending of piezoelectric plates with a circular hole / S.-P. Xu, W. Wang // Acta Mech. – 2009. – V. 203. – P. 127–135. DOI: 10.1007/s00707-008-0025-7.

9. Liu, M.F. An exact deformation analysis for the magnetoelectro-elastic fiber-reinforced thin plate / M.F. Liu // Applied Mathematical Modelling. – 2011. – V. 35, N. 5. – P. 2443–2461. DOI: 10.1016/j.apm.2010.11.044.

10. Gales, C. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity / C. Gales, N. Baroiu // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2014. – V. 94, N. 1-2. – P. 55–71. DOI: 10.1002/zamm.201200219

11. Liu, M.-F. Exact solution for the bending deformations of layered magneto-electro-elastic laminates based on thin-plate formulation / M.-F. Liu // International Journal of Engineering and Applied Sciences. – 2016. – V. 3, N. 4. – P. 7-15.

12. Zhou, Y. Vibration and bending analysis of multiferroic rectangular plates using third-order shear deformation theory / Y. Zhou, J. Zhu // Composite Structures. – 2016. – V. 153. – P. 712–723. DOI: 10.1016/j.compstruct.2016.06.064.

13. Yang, Y. Bending and free vibration of a circular magnetoelectroelastic plate with surface effects / Y. Yang, X.-F. Li // Int. J. Mech. Sci. – 2019. – V. 157-158. – P. 858–871. – DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2019.05.029.

14. Moradi-Dastjerdi, R. Thermo-electro-mechanical behavior of an advanced smart lightweight sandwich plate / R. Morandi-Dastjerdi, K. Behdinan // Aerospace Science and Technology. – 2020. – V. 106. – P. 106–142. DOI: 10.1016/j.ast.2020.106142.

15. Zheng, Y-F. Nonlinear bending analysis of magnetoelectroelastic rectangular plates using higher order shear deformation theory / Y-F. Zheng, L.-L. Xu, C.-P. Chen // J. Mech. Sci. Technol. – 2021. – V. 35, No. 3. – P. 1099–1108. – DOI: 10.1007/s12206-021-0223-y.

16. A transversely isotropic magneto-electro-elastic circular Kirchhoff plate model incorporating microstructure effect / W. Shen, G. Zhang, S. Gu, Y. Cong // Acta Mechanica Solida Sinica. – 2022. – V. 35, N. 2. – P. 185–197. DOI: 10.1007/s10338-021-00271-7.

17. Калоеров, С.А. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел / С.А. Калоеров, А.В. Петренко. – Донецк: Юго–Восток, 2011.– 232 с.

18. Калоеров, С.А. Основные соотношения прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит / С.А. Калоеров // Вестник Донецкого национального университета. Серия А: Естественные науки. – 2022. – № 1. – С. 20–38.

19. Калоеров, С.А. Исследование электромагнитоупругого состояния конечной многосвязной тонкой плиты / С.А. Калоеров, А.В. Сероштанов // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2023. – № 4. – С. 34–44. DOI: 10.15593/perm.mech/2023.4.04

20. Калоеров С. А. Решение задачи о поперечном изгибе электромагнитоупругой полуплоскости с отверстиями и трещинами / С. А. Калоеров, А. В. Сероштанов // Вестник ПНИПУ. Механика – 2025. – № 1. – С. 20–33. DOI: 10.15593/perm.mech/2025.1.02.

21. Калоеров, С.А. Решение задачи об изгибе многосвязной пьезополуплоскости с приближенным удовлетворением граничным условиям на прямолинейной границе / С.А. Калоеров, А.В. Сероштанов // Вестник Донецкого национального университета. Серия А: Естественные науки. – 2024. – № 1. – С. 28-41. DOI:10.5281/zenodo.12527097.

22. Калоеров, С.А. Термовязкоупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки / C.A. Калоеров, О.А. Паршикова // Прикладная механика. – 2012. – Т. 48, № 3.– С. 103–116.

23. Воеводин, В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. / В.В. Воеводин. – М.: Наука, 1977. – 304 с.

24. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. – М.: Мир, 1980. – 280 с.

25. Drmaç, Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 / Z. Drmaç, K. Veseliç // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – V. 29, N. 4. – P. 1322–1342. DOI: 10.1137/050639193.

26. Drmaç, Z. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 / Z. Drmaç, K. Veseliç // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – V. 29, N. 4. – P. 1343–1362. DOI: 10.1137/05063920X.

27. Tian, W.-Y. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids / W.-Y. Tian, U. Gabbert // Europ. J. Mech. Pt A. – 2004. – V. 23. – P. 599–614. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2004.02.002.

28. Yamamoto, Y. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures / Y. Yamamoto, K. Miya. – Amsterdam: Elsevier Sci. North Holland, 1987. – 450 p.

29. Hou, P.F. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material / P.F. Hou, G.-H. Teng, H.-R. Chen // Mech. Materials. – 2009. – V. 41. – P. 329–338. DOI: 10.1016/j.mechmat.2008.12.001.

REFERENCES

1. Berlincourt D., Curran D.R., and Jaffe H., Piezoelectric and Piezomagnetic Materials and Their Function in Transducers. Ed. by W. P. Mason, New York, Academic Press, Physical Acoustics, 1964, pp. 169-270.

2. Pyatakov A.P. Magnetoelectric Materials and Their Application in Practice. Bul. Ros. Magnit. Obshchestva, 2006, Vol. 5, No. 2, pp.1-3.

3. Nan C.-W., Bichurin M.I., Dong Sh., Viehland D., Srinivasan G. Multiferroic magnetoelectric composites: Historical perspective, status, and future directions. J. Appl. Phys., 2008, Vol. 103, No. 3, pp. 031101. doi: 10.1063/1.2836410.

4. Tian R., Liu J., Liu X. Magnetoelectric properties of piezoelectric-piezomagnetic composites with elliptical nanofibers. Acta Mechanica Solida Sinica, 2020, Vol. 33, pp. 368-380. doi: 10.1007/s10338-019-00126-2.

5. Srinivas S., Jiang Y.L. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites. Acta Mater, 2005, Vol. 53, pp. 4135-4142. doi: 10.1016/j.actamat.2005.05.014.

6. Eringen A.C., Maugin G.A. Electrodynamics of Continua I. New York, Springer, 1990, 436 p. doi: 10.1007/978-1-4612-3226-1.

7. Ieşan D. On the bending of piezoelectric plates with microstructure. Acta Mech., 2008, Vol. 198, No. 3, pp. 191-208. doi: 10.1007/s00707-007-0527-8.

8. Xu S.-P., Wang W. Bending of piezoelectric plates with a circular hole. Acta Mech., 2009, Vol. 203., pp. 127-135. doi: 10.1007/s00707-008-0025-7.

9. Liu M.F. An exact deformation analysis for the magnetoelectro-elastic fiber-reinforced thin plate. Applied Mathematical Modelling, 2011, Vol. 35, No. 5, pp. 2443–2461. doi: 10.1016/j.apm.2010.11.044.

10. Galeş C., Baroiu N. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity. ZAMM, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2014, Vol. 94, No. 1-2, pp. 55-71. doi: 10.1002/zamm.201200219.

11. Liu M.-F. Exact solution for the bending deformations of layered magneto-electro-elastic laminates based on thin-plate formulation. International Journal of Engineering and Applied Sciences, 2016, Vol. 3, No. 4, pp. 7-15.

12. Zhou Y., Zhu J. Vibration and bending analysis of multiferroic rectangular plates using third-order shear deformation theory. Composite Structures, 2016, V. 153, pp. 712–723. doi: 10.1016/j.compstruct.2016.06.064.

13. Yang Y., Li X.-F. Bending and free vibration of a circular magnetoelectroelastic plate with surface effects. Int. J. Mech. Sci., 2019, Vol. 157-158, pp. 858–871, doi: 10.1016/j.ijmecsci.2019.05.029.

14. Moradi-Dastjerdi R., Behdinan K. Thermo-electro-mechanical behavior of an advanced smart lightweight sandwich plate. Aerospace Science and Technology, 2020, V. 106, pp. 106–142. doi: 10.1016/j.ast.2020.106142.

15. Zheng Y-F., Xu L.-L., Chen C.-P. Nonlinear bending analysis of magnetoelectroelastic rectangular plates using higher order shear deformation theory. J. Mech. Sci. Technol., 2021, Vol. 35, No. 3, pp. 1099-1108. doi: 10.1007/s12206-021-0223-y.

16. Shen W., Zhang G., Gu Sh., Cong Y. A transversely isotropic magneto-electro-elastic circular Kirchhoff plate model incorporating microstructure effect. Acta Mechanica Solida Sinica, 2022, Vol. 35, No. 2, pp. 185-197. doi: 10.1007/s10338-021-00271-7.

17. Kaloerov S.A., Petrenko A.V., Two-dimensional problems of electromagnetoelasticity for multiply connected bodies [Dvumernye zadachi elektromagnitouprugosti dlya mnogosvyaznyh tel]. Donetsk, Yugo-Vostok, 2011, 232 p.

18. Kaloerov S.A. Osnovnye sootnosheniia prikladnoi teorii izgiba tonkikh elektromagnitouprugikh plit [The main relations of the applied theory of bending of thin electro-magneto-elastic plates]. Bulletin of Donetsk National University. Series A: Natural Sciences, 2022, No. 1, pp. 20-38.

19. Kaloerov S.A., Seroshtanov A.V. Investigation of the electro-magneto-elastic state of a finite multiply connected thin plate. PNRPU Mechanics Bulletin, 2023, No. 4, pp. 34-44. doi: 10.15593/perm.mech/2023.4.04.

20. Kaloerov S.A., Seroshtanov A.V. Solving the problem of transverse bending of an electro-magneto-elastic half-plane with holes and cracks. PNRPU Mechanics Bulletin, 2025, No. 1, pp. 20–33. doi: 10.15593/perm.mech/2025.1.02.

21. Kaloerov S.A. Reshenie zadachi ob izgibe mnogosvjaznoj p'ezopoluploskosti s priblizhennym udovletvoreniem granichnym uslovijam na prjamolinejnoj granice [Solving the problem of bending a multi-connected piezo half-plane with approximate satisfaction of boundary conditions on a rectilinear boundary]. Bulletin of Donetsk National University. Series A: Natural Sciences, 2024, No. 1, pp. 28-41. doi: 10.5281/zenodo.12527097.

22. Kaloerov S.A., Parshikova O.A., Thermoviscoelastic state of multiply connected anisotropic plates. International Applied Mechanics, 2012, Vol. 48, No. 3, pp. 319-331. doi: 10.1007/s10778-012-0523-0.

23. Voevodin V.V. Vychislitel'nye osnovy lineinoi algebry [Computational Basis of Linear Algebra]. Moskov, Nauka, 304 p.

24. Forsythe J. E., Malcolm M. A., and Moler C. B., Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice-Hall, 1977.

25. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2008, vol. 29, no. 4, pp. 1322-1342. doi: 10.1137/050639193.

26. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2008, vol. 29, no. 4, pp. 1343-1362. doi: 10.1137/05063920X.

27. Tian W.-Y., Gabbert U. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids. Europ. J. Mech. Part A, 2004, Vol. 23, pp. 599-614. doi: 10.1016/j.euromechsol.2004.02.002.

28. Yamamoto Y., Miya K. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures, Amsterdam. Elsevier Science-North Holland, 1987, 450 p.

29. Hou P.F., Teng G.-H., Chen H.-R. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material. Mech. Mater, 2009, Vol. 41., pp. 329-338. doi: 10.1016/j.mechmat.2008.12.001.