НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПОМПЕЙЮ
DOI:
https://doi.org/10.5281/zenodo.22785958Ключевые слова:
свойство Помпейю, преобразование Помпейю, проблемы инъективности, преобразование Минковского-Функа, преобразование Радона, группа ГейзенбергаПоддерживающие организации
Лицензия
Аннотация
В работе приводится краткий обзор результатов, посвященных классической проблеме Помпейю и её локальным аналогам. Также рассматриваются задачи об инъективности преобразования Помпейю, в частности, описание множеств, для которых преобразование инъективно, и выяснение условий инъективности для шаров заданного радиуса.
Скачивания
Библиографические ссылки
1. Zalcman, L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem / L. Zalcman // Approximation by Solutions of Partial Differential Equations (Hanstholm, 1991). – Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 1992. – NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. ; Vol. 365. – P. 185–194.
2. Zalcman, L. Supplementary bibliography to: "A bibliographic survey of the Pompeiu problem"/ L. Zalcman // Radon Transforms and Tomography (South Hadley, MA, 2000). – Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2001. – ContemP. Math. ; Vol. 278. – P. 69–74.
3. Беренстейн, К. Комплексный анализ и уравнения в свертках / К. Беренстейн, Д. Струппа // Комплексный анализ – многие переменные – 5. – М. : ВИНИТИ, 1989. – (Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления ; Т. 54). – С. 5–111.
4. Волчков, В. В. Экстремальные задачи интегральной геометрии / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математика сегодня. – Киев : Научно-методический центр высшего образования, 2001. – Т. 12. – С. 51–79.
5. Volchkov, V. V. Integral Geometry and Convolution Equations / V. V. Volchkov. – Dordrecht : Kluwer Acad. Publ. – 2003. – 454 p.
6. Volchkov, V. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group / V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov. – Dordrecht : Springer-Verlag, 2009. – 671 p.
7. Volchkov, V. V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces / V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov. – Basel : Birkhauser, 2013. – 592 p.
8. Williams, S. A. A partial solution of the Pompeiu problem / S. A. Williams // Math. Ann. – 1976. – Vol. 223. – No 2. – P. 183–190.
9. Williams, S. A. Analyticity of the boundary for Lipschitz domains without the Pompeiu property / S. A. Williams // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – Vol. 30. – No 3. – P. 357–369.
10. Dalmasso, R. A new result on the Pompeiu problem / R. Dalmasso // Trans. Amer. Math. Soc. – 2000. – Vol. 352. – No 6. – P. 2723–2736.
11. Garofalo, N. Univalent functions and the Pompeiu problem / N. Garofalo, F. Segala // Trans. Amer. Math. Soc. – 1994. – Vol. 346. – No 1. – P. 137–146.
12. Ebenfelt, P. Propagation of singularities from singular and infinite points in certain complex-analytic Cauchy problems and an application to the Pompeiu problem / P. Ebenfelt // Duke Math. J. – 1994. – Vol. 73. – No 3. – P. 561–582.
13. Волчков, В. В. Множества со свойством Помпейю на плоскости и сфере / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математические заметки. – 2010. – Т. 87. – № 1. – С. 69–82.
14. Турбин,А.Ф. Фрактальные множества,функции, распределения /А.Ф. Турбин, Н.В. Працевитый. – Киев : Наукова думка, 1992. – 208 с.
15. Волчков, В. В. Новые теоремы о среднем для решений уравнения Гельмгольца / В. В. Волчков // Математический сборник. – 1993. – Т. 184. – № 7. – С. 71–78.
16. Очаковская, О.А. Функции с нулевыми интегралами по шарам / О.А. Очаковская. – Киев : Наукова думка, 2014. – 259 с.
17. Волчков, В. В. Уравнения свертки на многомерных областях и редуцированной группе Гейзенберга / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Матем. сб. – 2008. – Т. 199. – № 8. – С. 29–60.
18. Хелгасон, С. Группы и геометрический анализ. Интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции / С. Хелгасон. – М. : Мир, 1987. – 736 с.
19. Berenstein, C. A. Harmonic analysis and the Pompeiu problem / C. A. Berenstein, M. Shahshahani // Amer. J. Math. – 1983. – Vol. 105. – No 5. – P. 1217–1229.
20. Ungar, P. Freak theorem about functions on a sphere / P. Ungar // J. London Math. Soc. – 1954. – Vol. 29. – P. 100–103.
21. Armitage, D. H. The Pompeiu property for spherical polygons / D. H. Armitage // Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A. – 1996. – Vol. 96. – No 1. – P. 25–32.
22. Berenstein, C. A. Pompeiu’s problem on symmetric spaces / C. A. Berenstein, L. Zalcman // Comment. Math. Helv. – 1980. – Vol. 55. – No 4. – P. 593–621.
23. Волчков, В. В. Спектральный анализ на группе конформных автоморфизмов единичного круга / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математический сборник. – 2016. – Т. 207. – № 7. – С. 50–80.
24. Волчков, В. В. Спектральный синтез на группе конформных автоморфизмов единичного круга / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математический сборник. – 2018. – Т. 209. – № 1. – С. 3–36.
25. Волчков, В. В. Аналог теоремы Брауна–Шрейбера–Тэйлора для взвешенных гиперболических сдвигов / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математические заметки. – 2018. – Т. 103. – № 2. – С. 172–185.
26. Волчков, В. В. Теоремы типа Мореры в гиперболическом диске / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Известия Российской академии наук. Серия математическая. – 2018. – Т. 82. – № 1. – С. 34–64.
27. Волчков, В. В. Спектральный синтез на редуцированной группе Гейзенберга / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математические заметки. – 2023. – Т. 113. – вып. 1. – С. 46–57.
28. Волчков, В. В. Единственность решений уравнений обобщённой свёртки на гиперболической плоскости и группе
29. Volchkov,V.V. Zalcman’s problem and related two-radii theorems /V.V.Volchkov,Vit.V.Volchkov // Analysis and Mathematical Physics. – 2023. – Vol. 13. – No 5. – P. 1–47.
30. Volchkov, V. V. Convolution equations and the local Pompeiu property on symmetric spaces and on phase space associated to the Heisenberg group / V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov // J. d’Anal. Math. – 2008. – Vol. 105. – No 1. – P. 43–124.
31. Хелгасон, С. Интегральная геометрия и преобразования Радона / С. Хелгасон. – Москва : ИКИ, 2011. – 301 с. – (Перев. с англ. изд.: S. Helgason, Integral geometry and Radon transforms, Springer, New York, 2011).
32. Йон, Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. – Москва : Изд-во иностранной литературы, 1958. – 158 с. – (Перев. с англ. изд.: F. John, Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, Interscience Publ., New York–London, 1955).
33. Gonzalez, F. B. Notes on integral geometry and harmonic analysis / F. B. Gonzalez. – Kyushu : Kyushu University, 2010. – (COE Lecture Note ; No 24). – 125 p.
34. Sabadini, I. The mathematical legacy of Leon Ehrenpreis / I. Sabadini, D. C. Struppa. – Berlin : Springer, 2012. – (Springer Proceedings in Mathematics ; Vol. 16). – 400 c.
35. Netuka, I. Mean value property and harmonic functions / I. Netuka, J. Vesely // Classic and modern potential theory and applications : материалы конф. – Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1994. – (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. ; Vol. 430). – P. 359–398.
36. Brown, L. Spectral synthesis and the Pompeiu problem / L. Brown, B. M. Schreiber, B. A. Taylor // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). – 1973. – Vol. 23. – No 3. – P. 125–154.
37. Smith, J. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in R
38. Berenstein, C. A. A local version of the two-circles theorem / C. A. Berenstein, R. Gay // Israel J. Math. – 1986. – Vol. 55. – No 3. – P. 267–288.
39. Berenstein, C. A. Inversion of the local Pompeiu transform / C. A. Berenstein, R. Gay, A. Yger // J. Analyse Math. – 1990. – Vol. 54. – No 1. – P. 259–287.
40. Волчков, В. В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах / В. В. Волчков // Математический сборник. – 1995. – Т. 186. – № 6. – С. 15–34.
41. Волчков, В. В. Локальная теорема о двух радиусах для квазианалитических классов функций / В. В. Волчков // Математические заметки. – 2006. – Т. 80. – № 4. – С. 490–500.
42. Волчков, В. В. Об одной проблеме Беренстейна–Гэя и её обобщениях / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Известия РАН. Серия математическая. – 2010. – Т. 74. – № 4. – С. 33–62.
43. Berenstein, C. A. Le probleme de Pompeiu local / C. A. Berenstein, R. Gay // J. Analyse Math. – 1988. – Vol. 52. – P. 133–166.
44. Волчков, В. В. Экстремальные задачи о множествах Помпейю. II / В. В. Волчков // Математический сборник. – 2000. – Т. 191. – № 5. – С. 3–16.
45. Елец, Л. В. Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю / Л. В. Елец, П. А. Машаров // Украинский математический журнал. – 2009. – Т. 61. – С. 61–72.
46. Волчков, В. В.Омножествах инъективности преобразования Помпейю / В. В. Волчков // Математический сборник. – 1999. – Т. 190. – № 11. – С. 51–66.
47. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. – Москва : Мир. – 1974 с. – 333 c.
REFERENCES
1. Zalcman, L. (1992) A bibliographic survey of the Pompeiu problem. In Approximation by Solutions of Partial Differential Equations (Hanstholm, 1991). Dordrecht: KluwerAcademic Publishers. (NATOAdvanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences; 365), 185–194.
2. Zalcman, L. (2001) Supplementary bibliography to: "A bibliographic survey of the Pompeiu problem". In Radon Transforms and Tomography (South Hadley, MA, 2000). Providence, RI: American Mathematical Society. (Contemporary Mathematics; 278), 69–74.
3. Berenstein, C. & Struppa, D. (1989) [Complex analysis and convolution equations]. In Complex analysis – several variables – 5. Moscow: VINITI. (Progress in science and technology. Series: Contemporary problems of mathematics. Fundamental directions; 54), 5–111. (In Russian).
4. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2001) [Extremal problems of integral geometry]. In Mathematics today. Kyiv: Scientific and Methodological Center for Higher Education. 12, 51–79. (In Russian).
5. Volchkov, V. V. (2003) Integral geometry and convolution equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 454 p.
6. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2009) Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg group. Dordrecht: Springer-Verlag.
7. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2013) Offbeat integral geometry on symmetric spaces. Basel: Birkhauser.
8. Williams, S.A. (1976) [A partial solution of the Pompeiu problem]. Mathematische Annalen. 223 (2), 183–190.
9. Williams, S. A. (1981) [Analyticity of the boundary for Lipschitz domains without the Pompeiu property]. Indiana University Mathematics Journal. 30 (3), 357–369.
10. Dalmasso, R. (2000) [A new result on the Pompeiu problem]. Transactions of the American Mathematical Society. 352 (6), 2723–2736.
11. Garofalo, N.&Segala, F. (1994) [Univalent functions and the Pompeiu problem]. Transactions of the American Mathematical Society. 346 (1), 137–146.
12. Ebenfelt, P. (1994) [Propagation of singularities from singular and infinite points in certain complex-analytic Cauchy problems and an application to the Pompeiu problem]. Duke Mathematical Journal. 73 (3), 561–582.
13. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2010) [Sets with the Pompeiu property on the plane and the sphere]. Mathematical Notes. 87 (1), 69–82. (In Russian).
14. Turbin, A. F. & Pratsevityi, N. V. (1992) Fractal sets, functions, distributions. Kyiv: Naukova Dumka, 208 p. (In Russian).
15. Volchkov, V. V. (1993) [New mean value theorems for solutions of the Helmholtz equation]. Sbornik: Mathematics. 184 (7), 71–78. (In Russian).
16. Ochakovskaya, O. A. (2014) Functions with zero integrals over balls. Kyiv: Naukova Dumka, 259 p. (In Russian).
17. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2008) [Convolution equations on multidimensional domains and the reduced Heisenberg group]. Sbornik: Mathematics. 199 (8), 29–60. (In Russian).
18. Helgason, S. (1987) Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators and spherical functions. Moscow: Mir, 736 p. (In Russian).
19. Berenstein, C. A. & Shahshahani, M. (1983) [Harmonic analysis and the Pompeiu problem]. American Journal of Mathematics. 105 (5), 1217–1229.
20. Ungar, P. (1954) [Freak theorem about functions on a sphere]. Journal of the London Mathematical Society. 29, 100–103.
21. Armitage, D. H. (1996) [The Pompeiu property for spherical polygons]. Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A. 96 (1), 25–32.
22. Berenstein, C. A. & Zalcman, L. (1980) [Pompeiu’s problem on symmetric spaces]. Commentarii Mathematici Helvetici. 55 (4), 593–621.
23. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2016) [Spectral analysis on the group of conformal automorphisms of the unit disk]. Sbornik: Mathematics. 207 (7), 50–80. (In Russian).
24. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2018) [Spectral synthesis on the group of conformal automorphisms of the unit disk]. Sbornik: Mathematics. 209 (1), 3–36. (In Russian).
25. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2018) [An analogue of the Brown–Schreiber–Taylor theorem for weighted hyperbolic shifts]. Mathematical Notes. 103 (2), 172–185. (In Russian).
26. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2018) [Morera-type theorems in the hyperbolic disk]. Izvestiya: Mathematics. 82 (1), 34–64. (In Russian).
27. Volchkov,V.V.&Volchkov,Vit.V. (2023) [Spectral synthesis on the reduced Heisenberg group]. Mathematical Notes. 113 (1), 46–57. (In Russian).
28. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2024) [Uniqueness of solutions to generalized convolution equations on the hyperbolic plane and the group
29. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2023) [Zalcman’s problem and related two-radii theorems]. Analysis and Mathematical Physics. 13 (5), 1–47.
30. Volchkov, V. V. & Volchkov, Vit. V. (2008) [Convolution equations and the local Pompeiu property on symmetric spaces and on phase space associated to the Heisenberg group]. Journal d’Analyse Mathematique. 105 (1), 43–124.
31. Helgason, S. (2011) Integral geometry and Radon transforms. Moscow: IKI, 301 p. (Translated from the English edition: S. Helgason, Integral geometry and Radon transforms, Springer, New York, 2011). (In Russian).
32. John, F. (1958) Plane waves and spherical means applied to partial differential equations. Moscow: Foreign Literature Publishing House. (Translated from the English edition: F. John, Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, Interscience Publishers,NewYork–London, 1955), 158 p. (In Russian).
33. Gonzalez, F. B. (2010) Notes on integral geometry and harmonic analysis. Kyushu: Kyushu University, 125 p. (COE Lecture Note; 24).
34. Sabadini, I. & Struppa, D. C. (2012) The mathematical legacy of Leon Ehrenpreis. Berlin: Springer, 400 p. (Springer Proceedings in Mathematics; 16).
35. Netuka, I. & Vesely, J. (1994) [Mean value property and harmonic functions]. In Classic and modern potential theory and applications: conference proceedings. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. (NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences; 430), 359–398.
36. Brown, L. & Schreiber, B. M. & Taylor, B. A. (1973) [Spectral synthesis and the Pompeiu problem]. Annales de l’Institut Fourier (Grenoble). 23 (3), 125–154.
37. Smith, J. D. (1972) [Harmonic analysis of scalar and vector fields in R
38. Berenstein, C. A. & Gay, R. (1986) [A local version of the two-circles theorem]. Israel Journal of Mathematics. 55 (3), 267–288.
39. Berenstein, C. A. & Gay, R. & Yger, A. (1990) [Inversion of the local Pompeiu transform]. Journal d’Analyse Mathematique. 54 (1), 259–287.
40. Volchkov, V. V. (1995) [The final version of the local two-radii theorem]. Sbornik: Mathematics. 186 (6), 15–34. (In Russian).
41. Volchkov, V. V. (2006) [Local two-radii theorem for quasianalytic classes of functions]. Mathematical Notes. 80 (4), 490–500. (In Russian).
42. Volchkov, V. V.&Volchkov, Vit. V. (2010) [On a problem of Berenstein–Gay and its generalizations]. Izvestiya: Mathematics. 74 (4), 33–62. (In Russian).
43. Berenstein, C. A. & Gay, R. (1988) [Le probleme de Pompeiu local]. Journal d’Analyse Mathematique. 52, 133–166.
44. Volchkov, V. V. (2000) [Extremal problems on Pompeiu sets. II]. Sbornik: Mathematics. 191 (5), 3–16. (In Russian).
45. Yelets, L. V. & Masharov, P. A. (2009) [On an extremal problem on Pompeiu sets]. Ukrainian Mathematical Journal. 61, 61–72. (In Russian).
46. Volchkov, V. V. (1999) [On injectivity sets of the Pompeiu transform]. Sbornik: Mathematics. 190 (11), 51–66. (In Russian).
47. Stein, I. & Weiss, G. (1974) Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Moscow: Mir, 333 p. (In Russian).
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Статьи журнала «Вестник Донецкого университета. Серия 01. Естественные науки» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Донецким Государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
