АНАЛОГИ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ЙОНА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ ЯДРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ

Авторы

DOI:

https://doi.org/10.5281/zenodo.22785947

Ключевые слова:

преобразование Помпейю, ядро преобразования Помпейю, теорема единственности Йона, множество Помпейю, локальный вариант проблемы Помпейю, радиус Йона, семейство из равнобедренного треугольника и квадрата

Поддерживающие организации

Исследование проводилось в рамках государственного задания Минобрнауки России (тема № FREM- 2026-0004 и тема № FRRE-2026-0015).,

Лицензия

Метаданные этой статьи распространяются под лицензией CC BY 4.0

Аннотация

В работе получены аналоги теоремы единственности Йона для функций, принадлежащих ядру преобразования Помпейю. Установлены условия, при которых обращение такой функции в нуль в некоторой подобласти влечёт её тождественное равенство нулю во всей рассматриваемой области. Рассмотрены случаи произвольного множества, не являющегося шаром, параллелепипеда, а также семейства, состоящего из равнобедренного треугольника с углом pi/6 и квадрата

Скачивания

Данные по скачиваниям пока не доступны.

Библиографические ссылки

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беренстейн, К. Комплексный анализ и уравнения в свертках / К. Беренстейн, Д. Струппа // Комплексный анализ – многие переменные – 5. – М.: ВИНИТИ, 1989. – (Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления; Т. 54). – С. 5–111. – DOI англ. версии: 10.1007/978-3-642-58011-6_1.

2. Zalcman, L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem / L. Zalcman // Approximation by Solutions of Partial Differential Equations (Hanstholm, 1991). – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992. – (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.; Vol. 365). – P. 185–194. – DOI: 10.1007/978-94-011-2436-2_17.

3. Zalcman, L. Supplementary bibliography to: “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” / L. Zalcman // Radon Transforms and Tomography (South Hadley, MA, 2000). – Providence, RI: American Mathematical Society, 2001. – (Contemporary Mathematics; Vol. 278). – P. 69–74. – DOI: 10.1090/conm/278/04595.

4. Волчков, В. В. Экстремальные задачи интегральной геометрии / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математика сегодня. – Киев: Научно-методический центр высшего образования, 2001. – Вып. 12, № 1. – С. 51–79.

5. Netuka, I. Mean value property and harmonic functions / I. Netuka, J. Vesely // Classical and Modern Potential Theory and Applications. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. – (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.; Vol. 430). – P. 359–398. – DOI: 10.1007/978-94-011-1138-6_29.

6. Йон, Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон ; пер. с англ. Н. Д. Введенской ; под ред. С. Г. Михлина. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. – 158 с.

7. Volchkov, V.V. Integral Geometry and Convolution Equations / V.V. Volchkov. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. – XII, 454 p. – DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.

8. Volchkov, V.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group / V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov. – London: Springer, 2009. – XI, 671 p. – (Springer Monographs in Mathematics). – DOI: 10.1007/978-1-84882-533-8.

9. Volchkov, V.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces / V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov. – Basel: Birkhauser, 2013. – X, 592 p. – DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.

10. Helgason, S. Integral Geometry and Radon Transforms / S. Helgason. – New York: Springer, 2010. – XIII, 301 p. – DOI: 10.1007/978-1-4419-6055-9.

11. Gonzalez, F. B. Notes on Integral Geometry and Harmonic Analysis / F. B. Gonzalez. – Kyushu: Kyushu University, 2010. – 125 p. – (COE Lecture Note; No. 24).

12. The Mathematical Legacy of Leon Ehrenpreis / eds. I. Sabadini, D. C. Struppa. – Milano: Springer, 2012. – X, 394 p. – (Springer Proceedings in Mathematics; Vol. 16). – DOI: 10.1007/978-88-470-1947-8.

13. Pompeiu, D. Sur une propriete integrale de fonctions de deux variables reelles / D. Pompeiu // Bull. Sci. Acad. Royale Belgique. – 1929. – Vol. 15, Ser. 5. – P. 265–269.

14. Chakalov, L. Sur un probleme de D. Pompeiu / L. Chakalov // Annuaire [Godisnik]Univ. Sofia Fac. Phys.-Math., Livre 1. – 1944. – Vol. 40. – P. 1–14.

15. Radon, J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten / J. Radon // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat. Kl. – 1917. – Vol. 69. – P. 262–277.

16. Brown, L. Spectral synthesis and the Pompeiu problem / L. Brown, B. M. Schreiber, B.A. Taylor // Annales de l’Institut Fourier. – 1973. – Vol. 23, No. 3. – P. 125–154. – DOI: 10.5802/aif.474.

17. Williams, S.A. A partial solution of the Pompeiu problem / S.A. Williams // Math. Ann. – 1976. – Vol. 223, No. 2. – P. 183–190. – DOI: 10.1007/BF01360881.

18. Williams, S.A. Analyticity of the boundary for Lipschitz domains without the Pompeiu property / S.A.Williams // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – Vol. 30, No. 3. – P. 357–369. – DOI: 10.1512/iumj.1981.30.30028.

19. Dalmasso, R. A new result on the Pompeiu problem / R. Dalmasso // Trans. Amer. Math. Soc. – 2000. – Vol. 352, No. 6. – P. 2723–2736. – DOI: 10.1090/S0002-9947-99-02533-7.

20. Garofalo, N. Univalent functions and the Pompeiu problem / N. Garofalo, F. Segala // Trans. Amer. Math. Soc. – 1994. – Vol. 346, No. 1. – P. 137–146. – DOI: 10.1090/S0002-9947-1994-1250819-4.

21. Ebenfelt, P. Propagation of singularities from singular and infinite points in certain complex-analytic Cauchy problems and an application to the Pompeiu problem / P. Ebenfelt // Duke Math. J. – 1994. – Vol. 73, No. 3. – P. 561–582. – DOI: 10.1215/S0012-7094-94-07323-7.

22. Волчков, В. В. Множества со свойством Помпейю на плоскости и сфере / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Математические заметки. – 2010. – Т. 87, № 1. – С. 69–82. – DOI: 10.4213/mzm5158.

23. Volchkov, V.V. Convolution equations and the local Pompeiu property on symmetric spaces and on phase space associated to the Heisenberg group / V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov // Journal d’Analyse Mathematique. – 2008. – Vol. 105. – P. 43–123. – DOI: 10.1007/s11854-008-0031-7.

24. Berenstein, C.A. Le probleme de Pompeiu local / C.A. Berenstein, R. Gay // Journal d’Analyse Mathematique. – 1989. – Vol. 52. – P. 133–166. – DOI: 10.1007/BF02820476.

25. Smith, J. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn / J. D. Smith // Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1972. – Vol. 72, No. 3. – P. 403–416. – DOI: 10.1017/S0305004100047241.

26. Berenstein, C.A. A local version of the two-circles theorem / C.A. Berenstein, R. Gay // Israel J. Math. – 1986. – Vol. 55, No. 3. – P. 267–288. – DOI: 10.1007/BF02765026.

27. Волчков, В. В. Экстремальные задачи о множествах Помпейю. II / В. В. Волчков // Математический сборник. – 2000. – Т. 191, № 5. – С. 3–16. – DOI: 10.4213/sm474.

28. Очаковская, О.А. Функции с нулевыми интегралами по шарам / О.А. Очаковская ; НАН Украины, Ин-т прикладной математики и механики. – Киев: Наукова думка, 2014. – 257, [1] с. – ISBN 978-966-00-1454-1.

29. John, F. Abhangigkeiten zwischen den Flachenintegralen einer stetigen Funktion / F. John // Math. Ann. – 1935. – Vol. 111. – P. 541–559. – DOI: 10.1007/BF01472237.

30. Волчков, В. В. Экстремальные задачи, связанные с теоремой единственности Ф. Йона / В. В. Волчков, Вит. В. Волчков // Алгебра и анализ. – 2009. – Т. 21. –№5. – С. 37–69. – DOI: 10.1090/S1061-0022-2010-01113-0.

31. Краснощёких, Г. Вит. Шаровые средние относительно свёртки Бесселя и их применение / Г. Вит. Краснощёких, Вит. В. Волчков // Математические труды. – 2025. – Т. 28,№2. – С. 62–86. – DOI: 10.25205/1560-750X-2025-28-2-62-86.

32. Машаров, П.А. Экстремальный вариант проблемы Помпейю для семейства из равнобедренного треугольника и квадрата / П.А. Машаров, И. С. Власенко // Вестник Донецкого национального университета. Серия А: Естественные науки. – 2024. – № 2. – С. 62–69. – DOI: 10.5281/zenodo.13752218.

REFERENCES

1. Berenstein, C.A. & Struppa, D.C. (1989) [Complex analysis and convolution equations]. Complex Analysis – Several Variables – 5. Results of Science and Technology. Series: Contemporary Problems of Mathematics. Fundamental Directions. 54, 5–111. Moscow: VINITI. (In Russian). DOI: 10.1007/978-3-642-58011-6_1.

2. Zalcman, L. (1992) A bibliographic survey of the Pompeiu problem. In: Approximation by Solutions of Partial Differential Equations (Hanstholm, 1991). NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. 365, 185–194. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. DOI: 10.1007/978-94-011-2436-2_17.

3. Zalcman, L. (2001) Supplementary bibliography to: “A bibliographic survey of the Pompeiu problem”. In: Radon Transforms and Tomography (South Hadley, MA, 2000). Contemporary Mathematics. 278, 69–74. Providence, RI: American Mathematical Society. DOI: 10.1090/conm/278/04595.

4. Volchkov, V.V. & Volchkov, Vit.V. (2001) [Extremal problems of integral geometry]. Mathematics Today. 12 (1), 51–79. (In Russian).

5. Netuka, I.&Vesely, J. (1994) Mean value property and harmonic functions. In: Classical and Modern Potential Theory and Applications. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. 430, 359–398. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. DOI: 10.1007/978-94-011-1138-6_29.

6. John, F. (1958) Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations. Moscow: Foreign Languages Publishing House. 158 p. (In Russian).

7. Volchkov,V.V. (2003) Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht: KluwerAcademic Publishers. 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.

8. Volchkov,V.V.&Volchkov,Vit.V. (2009) Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London: Springer. 671 p. DOI: 10.1007/978-1-84882-533-8.

9. Volchkov, V.V. & Volchkov, Vit.V. (2013) Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Basel: Birkhauser. 592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.

10. Helgason, S. (2010) Integral Geometry and Radon Transforms. New York: Springer. 301 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-6055-9.

11. Gonzalez, F.B. (2010) Notes on Integral Geometry and Harmonic Analysis. Kyushu: Kyushu University. 125 p. COE Lecture Note. No. 24.

12. Sabadini, I. & Struppa, D.C. (eds.) (2012) The Mathematical Legacy of Leon Ehrenpreis. Milano: Springer. 394 p. Springer Proceedings in Mathematics. Vol. 16. DOI: 10.1007/978-88-470-1947-8.

13. Pompeiu, D. (1929) Sur une propriete integrale de fonctions de deux variables reelles. Bulletin des Sciences Mathematiques de l’Academie Royale de Belgique. 15 (5), 265–269.

14. Chakalov, L. (1944) Sur un probleme de D. Pompeiu. Annuaire de l’Universite de Sofia, Faculte Physico- Mathematique, Livre 1. 40, 1–14.

15. Radon, J. (1917) Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten. Berichte uber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse. 69, 262–277.

16. Brown, L., Schreiber, B.M. & Taylor, B.A. (1973) Spectral synthesis and the Pompeiu problem. Annales de l’Institut Fourier. 23 (3), 125–154. DOI: 10.5802/aif.474.

17. Williams, S.A. (1976) A partial solution of the Pompeiu problem. Mathematische Annalen. 223 (2), 183–190. DOI: 10.1007/BF01360881.

18. Williams, S.A. (1981) Analyticity of the boundary for Lipschitz domains without the Pompeiu property. Indiana University Mathematics Journal. 30 (3), 357–369. DOI: 10.1512/iumj.1981.30.30028.

19. Dalmasso, R. (2000) A new result on the Pompeiu problem. Transactions of the American Mathematical Society. 352 (6), 2723–2736. DOI: 10.1090/S0002-9947-99-02533-7.

20. Garofalo, N. & Segala, F. (1994) Univalent functions and the Pompeiu problem. Transactions of the American Mathematical Society. 346 (1), 137–146. DOI: 10.1090/S0002-9947-1994-1250819-4.

21. Ebenfelt, P. (1994) Propagation of singularities from singular and infinite points in certain complex-analytic Cauchy problems and an application to the Pompeiu problem. Duke Mathematical Journal. 73 (3), 561–582. DOI: 10.1215/S0012-7094-94-07323-7.

22. Volchkov, V.V. & Volchkov, Vit.V. (2010) [Sets with the Pompeiu property on the plane and on the sphere]. Mathematical Notes. 87 (1), 59–70. (In Russian). DOI: 10.1134/S0001434610010086.

23. Volchkov, V.V. & Volchkov, Vit.V. (2008) Convolution equations and the local Pompeiu property on symmetric spaces and on phase space associated to the Heisenberg group. Journal d’Analyse Mathematique. 105, 43–123. DOI: 10.1007/s11854-008-0031-7.

24. Berenstein, C.A. & Gay, R. (1989) Le probleme de Pompeiu local. Journal d’Analyse Mathematique. 52, 133–166. DOI: 10.1007/BF02820476.

25. Smith, J.D. (1972) Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 72 (3), 403–416. DOI: 10.1017/S0305004100047241.

26. Berenstein, C.A. & Gay, R. (1986) A local version of the two-circles theorem. Israel Journal of Mathematics. 55 (3), 267–288. DOI: 10.1007/BF02765026.

27. Volchkov, V.V. (2000) [Extremal problems on Pompeiu sets. II]. Sbornik: Mathematics. 191 (5), 619–632. (In Russian). DOI: 10.1070/SM2000v191n05ABEH000474.

28. Ochakovskaya, O.A. (2014) Functions with Zero Integrals over Balls. Kyiv: Naukova Dumka. 258 p. (In Russian). ISBN 978-966-00-1454-1.

29. John, F. (1935) Abhangigkeiten zwischen den Flachenintegralen einer stetigen Funktion. Mathematische Annalen. 111, 541–559. DOI: 10.1007/BF01472237.

30. Volchkov,V.V.&Volchkov,Vit.V. (2009) [Extremal problems related to F. John’s uniqueness theorem]. Algebra and Analysis. 21 (5), 37–69. (In Russian). DOI: 10.1090/S1061-0022-2010-01113-0.

31. Krasnoshchekikh, G.V. & Volchkov, Vit.V. (2025) [Ball averages relative to the Bessel convolution and their application]. Mathematical Proceedings. 28 (2), 62–86. (In Russian). DOI: 10.25205/1560-750X-2025-28-2-62-86.

32. Masharov, P.A. & Vlasenko, I.S. (2024) [Extremal version of the Pompeiu problem for a family consisting of an isosceles triangle and a square]. Bulletin of Donetsk National University. Series A: Natural Sciences. 2, 62–69. (In Russian). DOI: 10.5281/zenodo.13752218.

Загрузки

Опубликован

2026-09-25

Выпуск

№ 3 (2026): Вестник Донецкого национального университета. Серия А: Естественные науки

Раздел

Математика

Лицензия

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Статьи журнала «Вестник Донецкого университета. Серия 01. Естественные науки» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Донецким Государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.