ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И КРИТЕРИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В ЭТИХ НЕРАВЕНСТВАХ

Аннотация

Пусть \(\varphi\) - положительно определенная и непрерывная на \(\mathbb{R}\) функция, а \(\mu\) - соответствующая мера Бохнера. Для фиксированных \(\varepsilon \in \mathbb{R}\), \(\varepsilon \neq 0\), и \(\mu\)-измеримой вещественнозначной функции \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), рассматривается линейный оператор \(H_\varepsilon\) порожденный функцией \(\varphi\):

\[H_\varepsilon(f)(t) := \int_{\mathbb{R}} e^{-ih(u)} f(t + \varepsilon u) d\mu(u), \, t \in \mathbb{R}, \, f \in C(\mathbb{T}).\]

Пусть функция \(J\) выпукла вниз и не убывает на \([0, +\infty)\). Аналогично случаю \(h(u) = \tau u\), который автором был рассмотрен ранее, доказаны неравенства

\[
\begin{aligned}
&\int_{\mathbb{T}} J (|H_\varepsilon(f)(t)|) \, dt \leq \int_{\mathbb{T}} J (\varphi(0)|f(t)|) \, dt, \\
&\|H_\varepsilon(f)\|_p \leq \varphi(0)\|f\|_p, \quad 1 \leq p \leq \infty, \quad f \in C(\mathbb{T}),
\end{aligned}
\]

и получены критерии экстремальной функции. В качестве примера применения критерия разобран случай оператора \(H(f)(t) = \sum_{k=0}^{2n-1} \Lambda_k f \left( t - \tau + \frac{k\pi}{n} \right)\), где \(\{\Lambda_k\}_{k=0}^{2n-1}\) – фиксированный набор комплексных чисел.