ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО ПОТОКУ ЧЕРЕЗ СФЕРЫ ФИКСИРОВАННЫХ РАДИУСОВ

Аннотация

Одним из элементарных свойств непостоянной непрерывной функции на вещественной оси является отсутствие у нее двух несоизмеримых периодов. Пример экспоненты \( e^{i \lambda x} \) при подходящем параметре \(\lambda\) показывает, что условие несоизмеримости периодов является существенным. Этот факт допускает далеко идущие обобщения на скалярные и векторные поля в многомерных пространствах. В частности, если гладкое векторное поле \( \vec{A} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) имеет нулевой поток через все сферы фиксированных радиусов \( r_1 \) и \( r_2 \) в \( \mathbb{R}^n \) и \( r_1 / r_2 \) не является отношением положительных нулей функции Бесселя первого рода с индексом \( n / 2 \), то поле \( \vec{A} \) является соленоидальным (неожимаемым). В данной статье изучается задача о восстановлении векторного поля по его заданным потокам. Нашим основным результатом является теорема 2, которая дает формулу для нахождения \( \vec{A} \) (с точностью до соленоидального слагаемого) по его известному потоку через все сферы с указанным выше условием. В работе используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций. Ключевым шагом в доказательстве теоремы 2 является разложение дельта-функции Дирака по системе радиальных распределений с носителями в \( \overline{B}_r \), биортотональной к некоторой системе сферических функций. Подобный подход можно использовать для обращения ряда операторов свертки с радиальными распределениями из \( \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n) \).