ПРОДОЛЖЕНИЕ РАДИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ С ВНЕШНОСТИ ШАРА ДО ФУНКЦИИ, ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОЙ НА ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация

Рассматривается следующая задача. Пусть \( n \in \mathbb{N} \), \( a > 0 \), и функция \( g \) задана на \([a, +\infty)\). Существует ли непрерывная на \([0, +\infty)\) функция \( f \) такая, что функция \( f(\|x\|) \) является положительно определённой на \( \mathbb{R}^n \) и \( f(t) \equiv g(t) \) на \([a, +\infty)\) ? В теоремах 1 и 2 получены соответственно необходимые и достаточные условия решения этой задачи. Для степенной функции \( g(t) = t^{-\lambda} \), \(\lambda > 0\), эта задача была рассмотрена в 1987 г. Р. М. Тригубом. Для \( g(t) = t^{2-n} \), \( n \geq 3 \), \( a = 1 \), эта задача в других терминах рассмотрена в 2024 г. А. В. Ивановым. В теореме 3 получено сравнительно простое представление для интеграла от произведения трёх функций Бесселя, из которого следует, что решение А. В. Иванова на отрезке \([0, 1]\) является элементарной функцией, а если число \( n \) нечётное, то многочленом степени \( n - 2 \).